题目内容

如图,点A在x正半轴上,点B在y正半轴上.tan∠OAB=2.抛物线y=x2+mx+2的顶点为D,且经过A、B两点.
(1)求抛物线解析式;
(2)将△OAB绕点A旋转90°后,点B落在点C处.将上述抛物线沿y轴上下平移后过C点.写出点C坐标及平移后的抛物线解析式;
(3)设(2)中平移后抛物线交y轴于B1,顶点为D1.点P在平移后的图象上,且S△PBB1=2S△PDD1,求点P坐标.

【答案】分析:(1)二次函数y=x2+mx+2的图象经过点B,可得B点坐标为(0,2),再根据tan∠OAB=2求出A点坐标,将A代入解析式即可求得函数解析式;
(2)根据旋转不变性分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况可求得C点坐标,由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,设出解析式,代入C点作标即可求解;
(3)由于P点位置不固定,由图可知要分①当点P在对称轴的右侧时,②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,③当点P在y轴的左侧时,三种情况讨论.
解答:解:(1)由题意,点B的坐标为(0,2),
∴OB=2,
∵tan∠OAB=2,即=2.
∴OA=1.
∴点A的坐标为(1,0),
又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A,
∴0=12+m+2.
解得m=-3,
∴所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2;

(2)如图,作CE⊥x轴于E,

由于∠BAC=90°,可知∠CAE=∠OBA,△CAE≌△OBA,
可得CE=OA=1,AE=OB=2,
①顺时针旋转90°,则点C的坐标为(3,1),
由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,
设出解析式为y=x2-3x+c,代入C点作标得1=9-9+c,
解得c=1,
所求二次函数解析式为y=x2-3x+1,
②逆时针旋转90°,则点C的坐标为(-1,-1),
由于沿y轴运动,故图象开口大小、对称轴均不变,
设出解析式为y=x2-3x+c,代入C点作标得1+3+c=-1,
解得c=-5,
所求二次函数解析式为y=x2-3x-5;

(3)由(2),经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象,
那么对称轴直线x=不变,且BB1=DD1=1,
∵点P在平移后所得二次函数图象上,
设点P的坐标为(x,x2-3x+1).
在△PBB1和△PDD1中,
∵S△PBB1=2S△PDD1
∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍.
①当点P在对称轴的右侧时,x=2(x-),得x=3,
∴点P的坐标为(3,1);
②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,x=2(-x),得x=1,
∴点P的坐标为(1,-1);
③当点P在y轴的左侧时,x<0,又-x=2(-x),
得x=3>0(舍去),
∴所求点P的坐标为(3,1)或(1,-1);
设点P的坐标为(x,x2-3x-5),同理可得P的坐标为(3,-5);(1,-7),
综上可知:P的坐标为:(3,1);(3,-5);(1,-1);(1,-7).
点评:此题是一道中考压轴题,将解直角三角形、图形的旋转和平移以及点的存在性的探索等问题结合起来,考查了综合应用各种知识解题的能力,思维跳跃较大,有一定难度.
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