题目内容
【题目】四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点．
（1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接 PC，求证：∠AEB=∠PCD．
（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数．
（3）连接AP并延长交射线BC于点E，连接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度数．
【答案】
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PDA=∠PDC，AD=CD AD∥BC，
在△PAD与△PCD中，
，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴∠PAD=∠PCD，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD
（2）
解：如图1，
（方法一）∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
设∠PAD=∠PDA=x，则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x
∵PC⊥BE
∴2x+x=90°，
∴x=30°，
∴∠ABC=2x=60°；
（方法二）：延长CP交AD于M，
∵AD∥BC，PC⊥BC，
∴CM⊥AD
∵PA=PD，
∴△PAM≌△PDM （HL），
∴AM=DM，
∴CM垂直平分AD
连接AC，则AC=CD=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
（3）
解：①当点E在BC的延长线上时，如图2，
△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP
∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，如图3，
△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，
综上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．
【解析】（1）利用菱形的性质，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理证得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性质及平行线的性质得到结论；（2）方法一，首先利用等腰三角形的性质得∠PAD=∠PDA，设∠PAD=∠PDA=x，利用外角性质易得∠BPC=2x，因为PC⊥BE，得x，得∠ABC的度数；方法二，利用平行线的性质易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分线的性质得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等边三角形，得∠ABC的度数；（3）分类讨论：①当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性质得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因为∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度数；②当点E在BC上时，同理得出结论．
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．
