Question

某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报，其价格为每份0.30元，卖出的价格为0.50元，卖不掉的报纸可以退还给报社，不过每份退还的钱数与退还的报纸的数量关系如下：

退还的数量	5	10	15	20	25	30或30以上
价格（元/份）	0.25	0.20	0.15	0.10	0.05	0.02

现经市场调查发现，在一个月中（按30天记数）有20天可卖出150份/天，有10天只能卖出100份/天，而报社规定每天批发给摊点的报纸的数量必须相同．
（1）通过在坐标系中（以退还的钱数为纵坐标，退还的报纸数量为横坐标）描出点，分析出退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之间的函数关系式．
（2）若该家报刊摊点每天从报社买进的报纸数x份（满足100≤x≤150），则当买进多少报纸时，毛利润最大？最多可赚多少钱？

Answer 1

分析：（1）根据题意，利用待定系数法即可求得退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之间的函数关系式；
（2）分别，当100≤x＜130时，当130≤x≤150时去分析，分别求得各段的最大值，继而求得该家报刊摊点每天从报社买进多少份报纸才能使每月所获毛利润最大与最多可赚的钱数．

解答：解：（1）y=

- 1 100 k2+0.3k(0≤k＜30) 0.02k(k≥30)

；
当x=5时，y=-

1

100

×25+0.3×5=1.25，
当k=10时，y=-

1

100

×100+0.3×10=2，
当k=20时，y=-

1

100

×400+20×0.3=2，
∴分析出退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之间的函数关系式为：y=

- 1 100 k2+0.3k(0≤k＜30) 0.02k(k≥30)

；

（2）当100≤x＜130时，
w=20×0.5×x+10×0.5×100+10[-0.01（x-100）²+0.3（x-100）]-0.3x×30
=-0.1x²+24x-800
=-0.1（x-120）²+640，
∴当x=120时，w_max=640，
当130≤x≤150时，
w=20×0.5×x+10×0.5×100+10[0.02（x-100）]-0.3x×30
=1.2x+480，
当x=150时，w_max=660，
∴综上所述当x=150时，w_max=660．

点评：利用一次函数求解实际问题，把复杂的实际问题转化成数学问题，学会运用待定系数法求解析式，会运用一次函数的最大最小值来解决实际问题．