题目内容
善于学习的小敏查资料知道:对应角相等,对应边成比例的两个梯形,叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”,提出如下两个问题,你能帮助解决吗?问题一:平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似?
(1)从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位线(如图①).根据相似梯形的定义,请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似;
(2)一般结论:平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形
问题二:平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
(1)从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形
(2)从特殊梯形入手探究.同上假设,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线PQ(点P,Q在梯形的两腰上,如图②),使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由;
(3)一般结论:对于任意梯形(如图③),一定
AP | PB |
分析:两个梯形相似,因而两个梯形的对应腰的相等,对应底的比相等;这个图形中判定相似要同时满足这几个条件.反之,若相似则两个梯形的对应腰的相等,对应底的比相等.
解答:解:问题一:(1)两个梯形的腰相等,
即腰的比是1:2,而上底的比是1:1,
因而这两个梯形一定不相似;
(2)不相似.
问题二:(1)不相似;
(2)梯形APQD与梯形PBCQ相似,
∴
=
,即
=
解得:PQ=4.
∵
=
=
=
.
又∵AP+PB=6,
∴AP=2
(3)如果梯形APQD∽梯形PBCQ,
则
=
,
=
,
∵AD=a,BC=b,
∴PQ=
=
,
∴
=
=
.
即腰的比是1:2,而上底的比是1:1,
因而这两个梯形一定不相似;
(2)不相似.
问题二:(1)不相似;
(2)梯形APQD与梯形PBCQ相似,
∴
AD |
PQ |
PQ |
BC |
2 |
PQ |
PQ |
8 |
解得:PQ=4.
∵
AP |
PB |
AD |
PQ |
2 |
4 |
1 |
2 |
又∵AP+PB=6,
∴AP=2
(3)如果梯形APQD∽梯形PBCQ,
则
AD |
PQ |
PQ |
BC |
AP |
PB |
AD |
PQ |
∵AD=a,BC=b,
∴PQ=
AD•BC |
ab |
∴
AP |
PB |
a | ||
|
| ||
b |
点评:本题考查了多边形相似的性质,对应边的比相等,反之,相似图形的判定方法是对应角相等,对应边的比相等.
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