Question

如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：先构造直角三角形QBC，根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长，再根据余弦的定义即可求出结果．

解答：解：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QB，OP，BC，再连接QO并延长交⊙O于点C，则∠CBQ=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵B、Q分别是OA、AP的中点，
∴BQ∥OP，
∵OP=OB=BA=

1

2

OA=2，
∴QB=1
在Rt△CQB中，∠CBQ=90°
∴cos∠OQB=

QB

QC

=

1

4

．
故选C．

点评：本题综合考查了三角形中位线定理，余弦的定义和圆的性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．