题目内容
【题目】如图1，已知AB＝8，直线l与AB平行，且l与AB的距离为4，P是l上的动点，过点P作PC ⊥AB，垂足为C，点C不与A，B重合，过A，C，P三点作⊙O.
（1）若⊙O与线段PB交于点D，∠PAD＝22.5°，则∠APB等于多少度？
（2）如图2，⊙O与线段PB的一个公共点为D，一条直径垂直AB于点E，且与AD交于点M.
①若ME＝
，求AE的长；
②当ME的长度最大时，判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）67.5°；（2）①
或
，②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．
【解析】（1）利用圆周角定理的推论，由∠ACP=90°，可证AP是⊙O的直径，即可得出∠PDA=90°，利用三角形内角和公式即可得出答案；
（2）①先证△MEA∽△BCP，再由相似的性质得出
＝
，即可求出AE的长；
②设AE＝x，由①中比例式 ＝建立关于x的二次函数，利用最值即可求出ME的最大长，再利用三角形中位线定理即可得出结论.
（1）∵PC⊥AB，
∴∠ACP=90°，
∴AP是⊙O的直径，
∴∠PDA=90°，
∴∠APD=90°-∠PAD=90°-22.5°=67.5°.
（2）①连接AP，由PC ⊥AB得AP是直径，从而AD⊥PB，∠BAD+∠B＝90°，
又∠BPC+∠B＝90°，
即∠EAM＝∠CPB，
∴△MEA∽△BCP
∵ OE⊥AB，又∵OA＝OC，
∴AE＝EC．
设AE＝x，则BC＝8－2x．
由 ＝，得
，
化简得25x2－100x+64＝0，
解得x1=，x2=，
即AE＝或
②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．
由①设AE＝x，则BC＝8－2x．
由 ＝,可得ME＝－
（x－2）2＋2．
∵ x＞0，8－2x＞0，
∴ 0＜x＜4．
又∵ －
＜0，
∴当x＝2时，ME的长度最大为2．
当ME＝2时，AE＝EC＝2，
即AC＝4；BC＝4，
由∠ACP=90°得AP为直径；
又AC＝PC＝BC＝4，
得∠APB=45°+45°＝90°
直线PB与该圆相切
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