题目内容

下列说法：
①如图1，△ABC中，AB=AC，分别在AB、BC的延长线上截取数点G、H，使BG=BH，延长AC交GH于点K，且AK=KG，则∠BAC=30°．
②已知：△ABC中，∠ABC=45°，P为BC边上一点，且PC=2PB，∠APC=60°，则∠ACB=75°．
③在正方形网格中，网格线的交点称为格点，如图2，A、B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个．
④在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有10个．
其中，正确的有

②③④

（填写序号，少选、错选均不得分）

分析：（1）由条件AB=AC可以求出∠ABC=∠ACB，BG=BH可以得出∠G=∠H，又AK=KG可以得出∠A=∠G，有∠ABC=∠G+∠H，根据三角形的内角和就可以求出∠BAC的度数；
（2）根据题意画出图形，由三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数；
（3）分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解；
（4）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边AB的垂直平分线，在以顶点A、C为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边BC、AC上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出．

解答：

解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BG=BH，
∴∠G=∠H．
∵AK=KG，
∴∠A=∠G，
∴∠A=∠G=∠H．
∵∠ABC=∠G+∠H，
∴∠ABC=∠ACB=2∠A，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠A+2∠A+∠A=180，
∴∠A=36°≠30°，故本答案错误；

（2）过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；

∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，

∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故本答案正确；

（3）如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的6个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是6+4=10．故本答案正确；

（4）如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，