Question

已知如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．
求证：AP平分∠BPC．

Answer 1

证明：过点A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延长线于点N，
可得出∠AMB=∠ANC=90°，
∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴PA平分∠BPC．
分析：过点A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延长线于点N，利用垂直的定义得到一对直角相等，由邻补角定义得到∠ACN+∠ACP=180°，又∠ABM+∠ACP=180°，可得出一对角相等，再由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC，利用AAS可得出△ABM≌△ACN，利用全等三角形的对应边相等得到AM=AN，由在角内部，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，可得出PA为∠BPC的平分线．
点评：此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的逆定理，作出两条垂线，构造全等直角三角形是解本题的关键．