Question

（2009•三明）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（0°＜α≤90°）．
①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？
②设BP=t，AQ=s，求s与t之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．
（2）①本题要分三种情况进行讨论：
当CQ=CP时，∠PCD=∠QCD=22.5°，因此旋转角α=22.5°；
当CQ=QP时，∠CPQ=∠PCQ=45°，因此P，A重合．旋转角为45°；
当CP=QP时，∠CQP=∠PCQ=45°，因此旋转角α=0°，根据α的取值范围可知此种情况是不成立的．由此可得出旋转角为22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．
②本题可根据相似三角形来求．分两种情况进行讨论：
当0°＜α≤45°时，由于∠A=∠B=45°，∠ACQ和∠BPC都是45°加上一个相同的角，因此△ACQ∽△BPC，即可通过相似三角形得出关于BP，AQ，AC，BC的比例关系式，由于AC，BC的值可通过A，B，C三点的坐标来求出，由此可得出s，t的函数关系式．
当45°＜α＜90°时，与一的求法完全相同．
解答：解：（1）根据题意，得，
解得，
∴y=-x²+3x-=-（x-3）²+2，
∴顶点C的坐标为（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，
∴∠DCB=∠CBD=45度．
若CQ=CP，则∠PCD=∠PCQ=22.5度．
∴当α=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，
此时点Q与D重合，点P与A重合．
∴当α=45°时，
△CPQ是等腰三角形．
若PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．
∴α=0°，不合题意．
∴当α=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．

②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CAD=45°，AC=BC=
当0°＜α≤45°时，
∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度．
∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度．
∴∠ACQ=∠BPC．
又∵∠CAQ=∠PBC=45°，
∴△ACQ∽△BPC．
∴．
∴AQ•BP=AC•BC=×=8
当45°＜α＜90°时，同理可得AQ•BP=AC•BC=8，
∴．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．