题目内容
(2010•株洲)如图,直角△ABC中,∠C=90°,,,点P为边BC上一动点,PD∥AB,PD交AC于点D,连接AP.(1)求AC、BC的长;
(2)设PC的长为x,△ADP的面积为y.当x为何值时,y最大,并求出最大值.
【答案】分析:(1)在Rt△ABC中,根据∠B的正弦值及斜边AB的长,可求出AC的长,进而可由勾股定理求得BC的长;
(2)由于PD∥AB,易证得△CPD∽△CBA,根据相似三角形得出的成比例线段,可求出CD的表达式,也就求出AD的表达式,进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积,即可求出关于y、x的函数关系式,根据所得函数的性质,可求出y的最大值及对应的x的值.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,,,
得,
∴AC=2,根据勾股定理得:BC=4;(3分)
(2)∵PD∥AB,∴△ABC∽△DPC,∴;
设PC=x,则,,
∴
∴当x=2时,y的最大值是1. (8分)
点评:此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识.
(2)由于PD∥AB,易证得△CPD∽△CBA,根据相似三角形得出的成比例线段,可求出CD的表达式,也就求出AD的表达式,进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积,即可求出关于y、x的函数关系式,根据所得函数的性质,可求出y的最大值及对应的x的值.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,,,
得,
∴AC=2,根据勾股定理得:BC=4;(3分)
(2)∵PD∥AB,∴△ABC∽△DPC,∴;
设PC=x,则,,
∴
∴当x=2时,y的最大值是1. (8分)
点评:此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识.
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