Question

【题目】如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若BD=BP=2，求图中曲边三角形（阴影部分）的周长；

（3）如图2，点M是 的中点，连接DM，交AB于点N，若tan∠A=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、6+；（3）、.

【解析】

试题分析：（1）、连接OD，根据直径得出∠ADB=90°，根据OA=OB得∠A+∠ABD=90°，根据OA=OB=OD得出∠ADO=∠A，则∠BDO=∠ABD，从而得到∠PDO=90°，说明切线；（2）、根据题意得出△BOD为正三角形，根据弧长计算公式求出弧BD的长度，根据Rt△BDC得出DC，BC的长度，然后计算曲边三角形的周长；（3）、连接OM，过D作DF⊥AB于F，根据点M为弧的中点可得OM⊥AB，设BD=x，则AD=2x，AB=x，DF=，根据△OMN和△FDN相似得出答案.

试题解析：（1）、连结OD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°

又∵OA=OB=OD

∴∠ADO=∠A

∴∠BDO=∠ABD

又∵∠A=∠PDB

∴∠PDB+∠BD0=90°

即∠PDO=90°且D在圆上

∴PD是⊙O的切线；

（2）、由已知和（1）可得，△ABD≌△POD,

易得△BOD为等边三角形，

∴∠ADB=∠ACB=60°，OA=OB=OD=BD

∴ =

又在Rt△BDC中，∠ACB=60°,BD=

∴DC=2，BC=4

∴曲边三角形（阴影部分）的周长为：

（3）、连结OM，过D作DF⊥AB于F

∵点M是 的中点, ∴OM⊥AB

设BD=x，则AD=2x,AB= ,DF=

由△OMN∽△FDN得