题目内容
(2011•延平区质检)如图,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE为圆的切线;
(2)若BC=5,sin∠C=
,求AD的长.
(1)求证:DE为圆的切线;
(2)若BC=5,sin∠C=
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分析:(1)连接OD、BD,根据圆周角定理求出∠BDA=∠BDC=90°,根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD=∠EDC,∠EBD=∠EDB即可.
(2)根据BC=5,sin∠C=
,求出AC的长,再根据切割线定理求出AD的长即可.
(2)根据BC=5,sin∠C=
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5 |
解答:(1)证明:连接OD、BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠BDC=180°-90°=90°,
∵E为BC的中点,
∴DE=
BC=BE,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠EBD+∠DBO=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE是圆0的切线.
(2)解:∵sin∠C=
,
∴设AB=3x,AC=5x,
根据勾股定理得:(3x)2+52=(5x)2,
解得x=
.
AC=5×
=
.
由切割线定理可知:52=(
-AD)
,
解得,AD=
.
∵AB为圆O的直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠BDC=180°-90°=90°,
∵E为BC的中点,
∴DE=
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∴∠EBD=∠EDB,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠EBD+∠DBO=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE是圆0的切线.
(2)解:∵sin∠C=
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∴设AB=3x,AC=5x,
根据勾股定理得:(3x)2+52=(5x)2,
解得x=
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AC=5×
5 |
4 |
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由切割线定理可知:52=(
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25 |
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解得,AD=
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点评:本题主要考查对勾股定理,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线的性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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