Question

（2012•滨州）如图1，l₁，l₂，l₃，l₄是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l₃于点F，交l₂于点H，过点C作CE⊥l₂于点E，交l₃于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h₁，h₂，h₃，试用h₁，h₂，h₃表示正方形ABCD的面积S．

Answer 1

分析：（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；
（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{H正方形EGF}即可得出结论；
（3）由△AFD≌△CEB可得出h₁=h₃，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}，进而得出结论．

解答：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，
∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠CBE=∠BAH
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°
∴△ABH≌△BCE，
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴AH=DF=BE，
∵l₁，l₂，l₃，l₄是一组平行线，
∴AH=HF，BE=EH，
∴EH=HF，
∵l₂∥l₃，AF⊥l₃于点F，CE⊥l₂于点E，
∴四边形HEGF是正方形，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}
=4×

1

2

×2×1+1×1
=5；

（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}
=4×

1

2

（h₁+h₂）•h₁+h₂²
=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．