题目内容

“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部用于产品B的研发．经测算，每年投入到产品A中x万元时产生的利润y₁（万元）满足下表的关系
x（万元）　10 　20 　30 　40
y₁（万元） 2 8 10 8
从第六年年初开始，产品B已研发成功，在产品A继续产生利润的同时产品B也产生利润，每年投入到产品B中x万元时产生的利润y₂（万元）满足 $数学公式$ ．
（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y₁与x的函数关系式？
（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？
（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？

解：（1）设y₁=ax²+bx+c，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故可得y₁=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-8．

（2）y₁=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-8=- $\text{[math]}$ （x-30）²+10，
∵0＜x≤25，
∴当x=25时，y₁取得最大，y_1最大=9.5万元，
故前5年产品A产生的最大利润之和=9.5×5=47.5万元．

（3）设每年投入B a万元，则投入A （50-a）万元，后5年每年产生的最大利润为W，
则W=- $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a-202- $\text{[math]}$ （50-a）²+ $\text{[math]}$ （50-a）-8=-a²+60a-200=-（a-30）²+700，
当a=30时，W取得最大，W_最大=700万元，
故后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是3500万元．
分析：（1）根据表格数据特点，可发现，y₁与x不是一次函数关系，也不是反比例函数关系，故可设y₁=ax²+bx+c，选择三点代入可得出答案．
（2）利用配方法确定A产品每年的最大利润，继而可得前5年产品A产生的最大利润之和；
（3）设每年投入B a万元，则每年投入A （50-a）万元，设后5年每年产生的最大利润为W，利用配方法求出最值，继而可得后5年产品A、产品B产生的最大利润之和．
点评：本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握配方法求二次函数最值的应用，计算量较大，注意细心求解．