题目内容
(2007•娄底)经过x轴上A(-1,0)、B(3,0)两点的抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C,设抛物线的顶点为D,若以DB为直径的⊙G经过点C,求解下列问题:(1)用含a的代数式表示出C,D的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)如图,当a<0时,能否在抛物线上找到一点Q,使△BDQ为直角三角形?你能写出Q点的坐标吗?
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)可根据A,B的坐标,用交点式二次函数通式来设出抛物线的解析式,进而可得出D,C的坐标.
(2)本题的关键是求出a的值.可通过相似三角形来求解,过D作DE⊥y轴于E,易知△DEC∽△COB,可通过得出的关于DE,CO,EC,OB的比例关系式,求出a的值.进而可求出抛物线的解析式.
(3)本题要分两种情况进行讨论.
①当∠BDQ=90°时,此时DQ是圆G的切线,设DQ交y轴于M,那么可通过求直线DM的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标.
②当∠DBQ=90°时,可过Q作x轴的垂线,设垂足为F,先设出Q点的坐标,然后根据相似三角形DHB和BFQ得出的关于DH,BF,BH,FQ的比例关系式,求出Q点的坐标.
③当∠BQD=90°时,显然此时Q,C重合,因此Q点的坐标即为C点的坐标.
综上所述可得出符合条件的Q点的坐标.
解答:
解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)
则y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a
则点D的坐标为D(1,-4a)
点C的坐标为C(0,-3a)
(2)如图①所示,过点D作DE⊥y轴于E,如图①所示:
则有△DEC∽△COB
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/0.png)
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/1.png)
∴a2=1a=±1
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3;
(3)a<0时,a=-1,抛物线y=-x2+2x+3,![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/images3.png)
这时可以找到点Q,很明显,点C即在抛物线上,
又在⊙G上,∠BCD=90°,这时Q与C点重合,点Q坐标为Q(0,3).
如图②,若∠DBQ为90°,作QF⊥y轴于F,DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/2.png)
则点Q坐标(k,-k2+2k+3)
即![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/3.png)
化简为2k2-3k-9=0
即(k-3)(2k+3)=0
解之为k=3或
.
由
得Q坐标:
.
若∠BDQ为90°,![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/images9.png)
如图③,延长DQ交y轴于M,
作DE⊥y轴于E,DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即
,
则![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/8.png)
得
,点M的坐标为
DM所在的直线方程为![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/11.png)
则
与y=-x2+2x+3的解为
,
得交点坐标Q为![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/14.png)
即满足题意的Q点有三个,(0,3),
.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和应用、函数图象交点等知识,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
(2)本题的关键是求出a的值.可通过相似三角形来求解,过D作DE⊥y轴于E,易知△DEC∽△COB,可通过得出的关于DE,CO,EC,OB的比例关系式,求出a的值.进而可求出抛物线的解析式.
(3)本题要分两种情况进行讨论.
①当∠BDQ=90°时,此时DQ是圆G的切线,设DQ交y轴于M,那么可通过求直线DM的解析式,然后联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标.
②当∠DBQ=90°时,可过Q作x轴的垂线,设垂足为F,先设出Q点的坐标,然后根据相似三角形DHB和BFQ得出的关于DH,BF,BH,FQ的比例关系式,求出Q点的坐标.
③当∠BQD=90°时,显然此时Q,C重合,因此Q点的坐标即为C点的坐标.
综上所述可得出符合条件的Q点的坐标.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/images0.png)
则y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a
则点D的坐标为D(1,-4a)
点C的坐标为C(0,-3a)
(2)如图①所示,过点D作DE⊥y轴于E,如图①所示:
则有△DEC∽△COB
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/0.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/1.png)
∴a2=1a=±1
故抛物线的解析式为y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3;
(3)a<0时,a=-1,抛物线y=-x2+2x+3,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/images3.png)
这时可以找到点Q,很明显,点C即在抛物线上,
又在⊙G上,∠BCD=90°,这时Q与C点重合,点Q坐标为Q(0,3).
如图②,若∠DBQ为90°,作QF⊥y轴于F,DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/2.png)
则点Q坐标(k,-k2+2k+3)
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/3.png)
化简为2k2-3k-9=0
即(k-3)(2k+3)=0
解之为k=3或
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/4.png)
由
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/5.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/6.png)
若∠BDQ为90°,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/images9.png)
如图③,延长DQ交y轴于M,
作DE⊥y轴于E,DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/7.png)
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/8.png)
得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/9.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/10.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/11.png)
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/12.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/13.png)
得交点坐标Q为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/14.png)
即满足题意的Q点有三个,(0,3),
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019110415544917212/SYS201310191104155449172024_DA/15.png)
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和应用、函数图象交点等知识,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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