题目内容
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(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使BP将△ABH的面积分成1:3两部分?如果存在,求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为:x=-
,根据给出的抛物线对称轴列出关于m的方程,即可确定函数解析式,然后根据题干条件“锐角△ABC”对m值进行甄别.
(2)首先根据题意画出对应图形,易发现△BHO∽△ACO,根据对应边成比例能求出OH、AH的长;在△ABH中,以AH为底进行讨论,若BP将△ABH分成1:3两部分,那么直线BP必将线段AH分成1:3两部分,首先求出直线BP的解析式,联立抛物线的解析式即可求出对应的P点坐标.
b |
2a |
(2)首先根据题意画出对应图形,易发现△BHO∽△ACO,根据对应边成比例能求出OH、AH的长;在△ABH中,以AH为底进行讨论,若BP将△ABH分成1:3两部分,那么直线BP必将线段AH分成1:3两部分,首先求出直线BP的解析式,联立抛物线的解析式即可求出对应的P点坐标.
解答:
解:(1)由题意:x=-
=-
,
化简,得:m2-m-2=0
解得:m1=-1,m2=2;
当m=-1时,函数解析式为:y=-
x2-
x+1(如右图),其中△ABC不符合锐角三角形的特点,故m=-1舍去;
当m=2时,函数解析式为:y=-
x2-
x+6;
综上,抛物线的解析式为:y=-
x2-
x+6.
(2)由(1)知:抛物线的解析式为:y=-
x2-
x+6(如右图);
令x=0,则y=6,即 A(0,6);
令y=0,-
x2-
x+6=0,解得:x1=3,x2=-4;即 B(-4,0)、C(3,0);
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO,又∠AEH=∠BOH=90°,
∴Rt△BOH∽Rt△AOC,
∴
=
,即
=
,OH=2,AH=4;
在线段AH上取AM=HN=
AH=1,则 M(0,5)、N(0,3);
设直线BM的解析式为:y=kx+5,则有:-4k+5=0,k=
;
∴直线BM:y=
x+5.
同理,直线BN:y=
x+3.
联立直线BM和抛物线y=-
x2-
x+6,有:
,
解得:
,
∴P1(
,
);
同理,求直线BN与抛物线的交点P2(
,
);
综上,存在符合条件的P点,且坐标为:P1(
,
)、P2(
,
).
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m2-m-
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-
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化简,得:m2-m-2=0
解得:m1=-1,m2=2;
当m=-1时,函数解析式为:y=-
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当m=2时,函数解析式为:y=-
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2 |
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综上,抛物线的解析式为:y=-
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令x=0,则y=6,即 A(0,6);
令y=0,-
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∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO,又∠AEH=∠BOH=90°,
∴Rt△BOH∽Rt△AOC,
∴
BO |
AO |
OH |
OC |
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6 |
OH |
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在线段AH上取AM=HN=
1 |
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设直线BM的解析式为:y=kx+5,则有:-4k+5=0,k=
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4 |
∴直线BM:y=
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4 |
同理,直线BN:y=
3 |
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联立直线BM和抛物线y=-
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解得:
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∴P1(
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同理,求直线BN与抛物线的交点P2(
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综上,存在符合条件的P点,且坐标为:P1(
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3 |
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33 |
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点评:此题考查了函数解析式的确定、函数图象交点坐标的解法、图形面积的求法等知识;(2)题中,能够将三角形的面积比转换为底边比是打开解题思路的关键所在.
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