题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,直线轴于点,交轴于点,且.是线段上一点,的延长线于点.

1)如图1,若于点.,交的延长线于点,求证:

2)如图2,若的角平分线,于点,交于点,求的值;

3)如图3,若的延长线于点.请证明:.

【答案】1)见解析;(2;(3)见解析

【解析】

1)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
2)作BHOQOQ的延长线于H.先证明△OAE≌△BOH,推出OE=BHAE=OH,再证明△OED≌△BHQ,推出DE=QH,推出AD-OQ=AE+DE-OH-HQ=2DE,于是得到结论;
3)如图3中,作OE平分∠AOBADE.只要证明△AOE≌△OBC,推出OE=OC,再证明△ODE≌△ODC,推出∠ODE=ODC,由∠ODE=BDN,可得∠ODC=BDN,由此即可解决问题.

1)证明:
BFADDGBFOEBF
∴∠DEA=OGB=90°
∵∠OAE=DOE=OBGOA=OB
∴△AOE≌△BOGAAS),
AE=BG
2)解:如图2中,作BHOQOQ的延长线于H
AD是∠OAB的角平分线,
∴∠OAD=22.5°
∴∠ADO=67.5°
ADOE

∴∠BOH=OAD=22.5°
OA=OB,∠AEO=H=90°
∴△OAE≌△BOHAAS),
OE=BHAE=OH
AFOHOHBH
∴∠ADO=OBH=67.5°
∵∠OBA=45°
∴∠HBQ=DOE=22.5°
∵∠OED=H=90°
∴△OED≌△BHQ
DE=QH
AD-OQ=AE+DE-OH-HQ=2DE

3)解:如图3中,作OE平分∠AOBADE

OCAB
∴∠COB=ABO=AOE=45°
OA=OB,∠OAE=OBC
∴△AOE≌△OBCASA),
OE=OC
∵∠EOD=DOCOD=OD
∴△ODE≌△ODCSAS),
∴∠ODE=ODC
∵∠ODE=BDF
∴∠ODC=BDF
∵∠CDF+ODC+BDF=180°
∴∠CDF+2BDF=180°

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