题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线交
轴于
点,交
轴于
点,且
.点
是线段
上一点,
交
的延长线于点
.
(1)如图1,若交
于点
.点
作
,交
的延长线于点
,求证:
;
(2)如图2,若是
的角平分线,
交
于点
,交
于点
,求
的值;
(3)如图3,若交
的延长线于点
.请证明:
.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)作BH⊥OQ交OQ的延长线于H.先证明△OAE≌△BOH,推出OE=BH,AE=OH,再证明△OED≌△BHQ,推出DE=QH,推出AD-OQ=AE+DE-(OH-HQ)=2DE,于是得到结论;
(3)如图3中,作OE平分∠AOB交AD于E.只要证明△AOE≌△OBC,推出OE=OC,再证明△ODE≌△ODC,推出∠ODE=∠ODC,由∠ODE=∠BDN,可得∠ODC=∠BDN,由此即可解决问题.
(1)证明:
∵BF⊥AD,DG⊥BF,OE∥BF,
∴∠DEA=∠OGB=90°,
∵∠OAE=∠DOE=∠OBG,OA=OB,
∴△AOE≌△BOG(AAS),
∴AE=BG;
(2)解:如图2中,作BH⊥OQ交OQ的延长线于H.
∵AD是∠OAB的角平分线,
∴∠OAD=22.5°,
∴∠ADO=67.5°,
∵AD⊥OE,
∴∠BOH=∠OAD=22.5°,
∵OA=OB,∠AEO=∠H=90°,
∴△OAE≌△BOH(AAS),
∴OE=BH,AE=OH,
∵AF⊥OH,OH⊥BH,
∴∠ADO=∠OBH=67.5°,
∵∠OBA=45°,
∴∠HBQ=∠DOE=22.5°,
∵∠OED=∠H=90°,
∴△OED≌△BHQ,
∴DE=QH,
∴AD-OQ=AE+DE-(OH-HQ)=2DE,
∴.
(3)解:如图3中,作OE平分∠AOB交AD于E.
∵OC∥AB,
∴∠COB=∠ABO=∠AOE=45°,
∵OA=OB,∠OAE=∠OBC,
∴△AOE≌△OBC(ASA),
∴OE=OC,
∵∠EOD=∠DOC,OD=OD,
∴△ODE≌△ODC(SAS),
∴∠ODE=∠ODC,
∵∠ODE=∠BDF,
∴∠ODC=∠BDF,
∵∠CDF+∠ODC+∠BDF=180°,
∴∠CDF+2∠BDF=180°.
