题目内容
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝
AB，OD＝2．
(1)求∠BDC的度数；
(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于
．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P(点C、D除外)，使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．
解：(1)∵AB是⊙O的直径,DE=
AB,
∴OA=OC=OE=DE.
则∠EOD=∠CDB, ∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x,则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.
又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°.
∴x+2x=108,x=36°. ∴∠CDB=36°.
① 有三个：△DOE, △COE, △COD.
∵OE=DE, ∠CDB=36°, ∴△DOE是黄金三角形
（或∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°.
∴△COE是黄金三角形.或∵∠COB=108°，∴∠COD=72°.又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.∴△COD是黄金三角形.
②∵△COD是黄金三角形，∴
∵OD=2,∴OC=
-1.
∵CD=OD=2,DE=OC=-1,
∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3
）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2 。
）以OE为腰的黄金三角形：点 P3与点A重合。
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