Question

a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数．如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，现已知a1=

1

2

，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值．
（3）计算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）根据差倒数的定义可计算出a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）根据（1）计算结果得到从a₁开始，每三个数一循环，而2010=3×670，则a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，然后计算a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-1，把a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂，然后代值计算即可．

解答：解：（1）a₁=

1

2

，
a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=-1×

1

2

×2=-1；

（3）∵a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．=（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰•

1

2

•2=-1．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．