题目内容
（2012•道外区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴交于点A，与正比例函数y=-| 4 | 3 |
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点M从点A出发沿线段A0以每秒钟l个单位的速度向终点O匀速移动，在移动过程中过点M作x轴的垂线交线段AB或线段B0于点P、设M点移动的时间为t秒，线段BP的长为d（d＞0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点Q同时从原点O出发，以每秒钟1个单位长的速度，沿折线 0-C-B的路线向点B运动，当动点M停止移动时，点Q同时停止移动、当t为何值时，△BPQ是以BP为一腰的等腰三角形？
分析：（1）由BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8），可得点B的纵坐标为8，即可求得点B的坐标，然后将其代入y=x+b，即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB：y=x+14交x轴于点A，可求得OA的长，∠BAO=45°，过点B作BD⊥x轴于点D，即可求得AB，AD的长与cos∠DOB的值，再分别从当点M在AD上时与当点M在OD上时，OM=14-t，去分析求解即可求得答案；
（3）由△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，可得BP=BQ或BP=PQ，然后分别从当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上与当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上去分析求解即可求得答案．
（2）由直线AB：y=x+14交x轴于点A，可求得OA的长，∠BAO=45°，过点B作BD⊥x轴于点D，即可求得AB，AD的长与cos∠DOB的值，再分别从当点M在AD上时与当点M在OD上时，OM=14-t，去分析求解即可求得答案；
（3）由△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，可得BP=BQ或BP=PQ，然后分别从当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上与当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8），
∴点B的纵坐标为8，
∵点B在正比例函数y=-
x的图象上，
∴当y=8时，x=-6，
∴点B的坐标为（-6，8），
把（-6，8）代入y=x+b中，
得：8=-6+b，
解得：b=14，
∴直线AB的解析式为：y=x+14；
（2）由题意得：AM=t，
∵直线AB：y=x+14交x轴于点A，
∴A（-14，0），
∴OA=14，
过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B（-6，8），
∴BD=8，OD=6，
∴AD=OA-OD=14-6=8，
∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AB=
=8
，OB=
=10，
∴cos∠DOB=
=
=
，
①当点M在AD上时，
∵PM⊥x轴，
∴∠PMA=90°，
∴AP=
t，
∴BP=AB-AP=8
-
t（0≤t≤8）；
②当点M在OD上时，OM=14-t，
∵∠PMO=90°，cos∠DOB=
，
∴OP=
（14-t），
∴BP=OB-OP=10-
（14-t）=
t-
（8＜t≤14）；
综上，d=BP=
；
（3）∵△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，
∴BP=BQ或BP=PQ，
①当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上，
∵OC=BD=8，PM=OQ=t，
∴CQ=OC-OQ=8-t，
∴BQ2=BC2+CQ2=62+（8-t）2，
∵∠PMO=∠MOQ=90°，
∴四边形PMOQ是矩形，
∴PQ=OM=14-t，
当BP=BQ时，即BP2=BQ2，
∴（8
-
t）2=62+（8-t）2，
整理得：t2-16t+28=0，
解得：t=2或t=14，
∵0≤t≤8，
∴t=2；
当PB=PQ时，即BP2=PQ2，
∴（8
-
t）2=（14-t）2，
整理得：t2-4t-68=0，
解得：t=2±6
，
∵0≤t≤8，
∴t=2±6
不合题意，舍去；
②当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上，
∵OC=t-8，BC=6，
∴BQ=BC-OC=6-（t-8）=14-t，
当BP=PQ时，
t-
=14-t，
解得：t=
；
当BP=PQ时，过点P作PH⊥BC于H，
∴BQ=2BH，
∵BH=DM=AM-AD=t-8，
∴14-t=2（t-8），
解得：t=10；
综上，当t=2或t=
或t=10时，△BPQ是以BP为一腰的等腰三角形．
∴点B的纵坐标为8，
∵点B在正比例函数y=-
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∴当y=8时，x=-6，
∴点B的坐标为（-6，8），
把（-6，8）代入y=x+b中，
得：8=-6+b，
解得：b=14，
∴直线AB的解析式为：y=x+14；
（2）由题意得：AM=t，∵直线AB：y=x+14交x轴于点A，
∴A（-14，0），
∴OA=14，
过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B（-6，8），
∴BD=8，OD=6，
∴AD=OA-OD=14-6=8，
∴AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴AB=
| AD2+BD2 |
| 2 |
| BD2+OD2 |
∴cos∠DOB=
| OD |
| OB |
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①当点M在AD上时，
∵PM⊥x轴，
∴∠PMA=90°，
∴AP=
| 2 |
∴BP=AB-AP=8
| 2 |
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②当点M在OD上时，OM=14-t，
∵∠PMO=90°，cos∠DOB=
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∴OP=
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| 3 |
∴BP=OB-OP=10-
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| 5 |
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综上，d=BP=
|
（3）∵△BPQ是以BP为一腰等腰三角形，
∴BP=BQ或BP=PQ，
①当点P在AB上时（0≤t≤8），Q在OC上，∵OC=BD=8，PM=OQ=t，
∴CQ=OC-OQ=8-t，
∴BQ2=BC2+CQ2=62+（8-t）2，
∵∠PMO=∠MOQ=90°，
∴四边形PMOQ是矩形，
∴PQ=OM=14-t，
当BP=BQ时，即BP2=BQ2，
∴（8
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整理得：t2-16t+28=0，
解得：t=2或t=14，
∵0≤t≤8，
∴t=2；
当PB=PQ时，即BP2=PQ2，
∴（8
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整理得：t2-4t-68=0，
解得：t=2±6
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∵0≤t≤8，
∴t=2±6
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②当点P在BO上时（8＜t≤14），Q在BC上，
∵OC=t-8，BC=6，
∴BQ=BC-OC=6-（t-8）=14-t，
当BP=PQ时，
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解得：t=
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当BP=PQ时，过点P作PH⊥BC于H，
∴BQ=2BH，
∵BH=DM=AM-AD=t-8，
∴14-t=2（t-8），
解得：t=10；
综上，当t=2或t=
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点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义以及等腰直角三角形性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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