题目内容

【题目】已知,抛物线a0)与x轴交于A30)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1D为抛物线的顶点,点EyC点的上方,且CE=

1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

2)求证:直线DEACD外接圆的切线;

3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使,求点P的坐标;

4)在坐标轴上找一点M,使以点BCM为顶点的三角形与ACD相似,直接写出点M的坐标.

【答案】1,顶点D14);(2)证明见解析;(3P )或( );(4)(00)或(90)或(0,﹣).

【解析】试题分析:(1)由对称轴求出B的坐标,由待定系数法求出抛物线解析式,即可得出顶点D的坐标;

2)由勾股定理和勾股定理的逆定理证出ACD为直角三角形,ACD=90°.得出ADACD外接圆的直径,再证明AED为直角三角形,ADE=90°.得出ADDE,即可得出结论;

3)求出直线AC的解析式,再求出线段AD的中点N的坐标,过点NNPAC,交抛物线于点P,求出直线NP的解析式,与抛物线联立,即可得出答案;

4)由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案.

试题解析:(1抛物线的对称轴是直线x=1,点A30),根据抛物线的对称性知点B的坐标为(﹣10),OA=3,将A30),B10)代入抛物线解析式中得: ,解得: 抛物线解析式为;当x=1时,y=4顶点D14).

2)当=0时,C的坐标为(03),AC= =CD==AD= =AC2+CD2=AD2∴△ACD为直角三角形,ACD=90°ADACD外接圆的直径,E C点的上方,且CE=E0 ),AE= =DE= =DE2+AD2=AE2∴△AED为直角三角形,ADE=90°ADDE,又ADACD外接圆的直径,DEACD外接圆的切线;

3)设直线AC的解析式为y=kx+b,根据题意得: ,解得: 直线AC的解析式为y=x+3A30),D14),线段AD的中点N的坐标为(22),过点NNPAC,交抛物线于点P,设直线NP的解析式为y=x+c,则﹣2+c=2,解得:c=4直线NP的解析式为y=x+4,由y=x+4y=x2+2x+3联立得:﹣x2+2x+3=x+4,解得:x=x=y=,或y=P )或( );

4)分三种情况:M恰好为原点,满足CMB∽△ACDM00);

Mx轴正半轴上,MCB∽△ACD,此时M90);

My轴负半轴上,CBM∽△ACD,此时M0 );

综上所述,点M的坐标为(00)或(90)或(0 ).

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