Question

我市某服装厂生产的服装供不应求，A车间接到生产一批西服的紧急任务，要求必须在12天内完成．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高，每天生产的西服数量y（套）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）	1	2	4	7	…
每天产量y（套）	22	24	28	34	…

平均每套西服的成本z（元）与时间x（天）的关系如图：
请解答下列问题．
（1）求每天生产的西服数量y（套）与x（天）之间的关系式及成本z（元）与x（天）之间的关系式．
（2）已知这批西服的订购价格为每套1400元，设该车间每天的利润为W（元），试求出日利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，并求出哪一天该车间获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）在实际销售中，厂家决定从第13天起，每天按日最大利润进行生产并完全售出．生产7天后，由于机器损耗等原因，平均每套西服的成本比日最大利润时增加0.5a%（a＜50），所以厂家把定购价提高了200元再生产8天，但这8天的日销量比日最大利润时的销量下降了a%，根据销售记录显示，这8天的销售利润的总和与前7天的销售利润总和持平，求整数a．
（

37

≈6.082，

133

≈11.53）

Answer 1

分析：（1）设y=kx+b．根据表格信息，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式，结合函数图象可得出z与x的函数关系式；
（2）分段讨论，①当1≤x≤5时，②当6＜x≤10时，利用一次函数及二次函数的性质，分别求出最大值，继而比较可得出答案．
（3）求出获得最大利润时，平均每套西服的成本为600元，销量为40件，然后根据这8天的销售利润的总和与前7天的销售利润总和持平，可得出关于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）由表格知，y是x的一次函数
设y=kx+b，

22=k+b 24=2k+b

，
解得：

k=2 b=20

，
则每天生产的西服数量y（套）与x（天）之间的关系式：y=2x+20，
由函数图象可得：z=

400(1≤x≤5) 40x+200(6≤x≤10)

．

（2）当1≤x≤5时，W=2000x+20000，
当x=5时，最大是30000元，
当6≤x≤10时，W=-80（x-10）²+32000，
当x=10时，W最大是32000元，
综上所述：第10天利润最大，最大利润是32000元；

（3）当获得最大利润时，x=10，此时销量y=2×10+20=40件，平均每套西服的成本为40×10+200=600元，
由题意得：[1600-600（1+0.5a%）]×40（1-a%）×8=32000×7，
令a%=m，
原方程可化为：3m²-13m+3=0，
解得：m₁=

13+ 133

6

≈

13+11.53

6

≈4.09（不符合题意，舍去），m₂=

13- 133

6

≈

13-11.53

6

≈0.245，
即m=0.245，a取整数为25．
答：这8天的销售利润的总和与前7天的销售利润总和持平，整数a的值为25．

点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式、分段函数及一元二次方程的应用，解答本题的关键是列出函数关系式，注意掌握配方法求最值的应用．