Question

【题目】如图，抛物线经过点A（﹣3，0），点C（0，4），作CD∥x轴交抛物线于点D，作DE⊥x轴，垂足为E，动点M从点E出发在线段EA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设△DMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）①当MN∥DE时，直接写出t的值；

②在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MN⊥AD？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（0＜t≤3）；（3）①t=；②t=．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线经过点A（﹣3，0），点C（0，4），可以求得b、c的值，从而可以求得抛物线的解析式；

（2）要求△DMN的面积，根据题目中的信息可以得到梯形AEDC的面积、△ANM的面积、△MDE的面积、△CND的面积，从而可以解答本题；

（3）①根据MN∥DE，可以得到△AMN和△AOC相似，从而可以求得t的值；

②根据题目中的条件可以求得点N、点M、点A、点D的坐标，由AD⊥MN可以求得相应的t的值．

试题解析：（1）∵抛物线经过点A（﹣3，0），点C（0，4），∴，解得：，即抛物线的解析式为：；

（2）作NH⊥AM于点H，如由图1所示，∵=，∴对称轴x=，∵点A（﹣3，0），点C（0，4），CD∥x轴交抛物线于点D，DE⊥x轴，垂足为E，∴点D（3，4），点E（3，0），OA=3，OC=4，∴AC=5，AE=6，CD=3，∵NH⊥AM，AN=tME=2t，∴△ANH∽△ACO，AM=6﹣2t，∴，即，得NH=0.8t，∴S=S梯形AECD﹣S△AMN﹣S△DME﹣S△CDN

=（3+6）×4-×（6-2t）×0.8t-×2t×4-×3×（4-0.8t）

=，即S与t的函数关系式是S=（0＜t≤3）；

（3）①当MN∥DE时，t的值是，理由：如右图2所示

∵MN∥DE，AE=6，AC=5，AO=3，∴AM=6﹣2t，AN=t，△AMN∽△AOC，∴，即，解得，t=；

②存在某一时刻，使MN⊥AD，此时t的值是，理由：如右图3所示，设过点A（﹣3，0），C（0，4）的直线的解析式为y=kx+b，则：，得：，即直线AC的解析式为，∵NH=0.8t，∴点N的纵坐标为0.8t，将y=0.8t代入，得x=0.6t﹣3，∴点N（0.6t﹣3，0.8t）

∵点E（3，0），ME=2t，∴点M（3﹣2t，0），∵点A（﹣3，0），点D（3，4），点M（3﹣2t，0），点N（0.6t﹣3，0.8t），AD⊥MN，∴，解得：t=．