Question

如图，y关于x的二次函数y=-

3

3m

（x+m）（x-3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（-3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

Answer 1

分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；
（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；
（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．

解答：解：（1）令y=0，则-

3

3m

（x+m）（x-3m）=0，解得x₁=-m，x₂=3m；
令x=0，则y=-

3

3m

（0+m）（0-3m）=

3

m．
故A（-m，0），B（3m，0），D（0，

3

m）．

（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（-3，0），D（0，

3

m）代入得：

-3k+b=0 b= 3 m

解得，k=

3

3

m，b=

3

m．
∴直线ED的解析式为y=

3

3

mx+

3

m．
将y=-

3

3m

（x+m）（x-3m）化为顶点式：y=-

3

3m

（x-m）²+

4 3

3

m．
∴顶点M的坐标为（m，

4 3

3

m）．代入y=

3

3

mx+

3

m得：m²=m
∵m＞0，
∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．
∵OD=

3

，OC=1，
∴CD=2，D点在圆上
又∵OE=3，DE²=OD²+OE²=12，
EC²=16，CD²=4，
∴CD²+DE²=EC²．
∴∠EDC=90°
∴直线ED与⊙C相切．

（3）当0＜m＜3时，S_△AED=

1

2

AE．•OD=

3

2

m（3-m）
S=-

3

2

m²+

3 3

2

m．
当m＞3时，S_△AED=

1

2

AE•OD=

3

2

m（m-3）．
即S=

3

2

m^2_

3 3

2

m．
S关于m的函数图象的示意图如右：

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．