题目内容
如图1，在x轴正半轴上以OB为斜边、BC为直角边向第一象限分别作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD内有一半径为1，且与AB、BD相切的⊙P．（1）写出⊙P的圆心坐标；
（2）若△CDB在x轴上以每秒2个单位的速度向左匀速平移，⊙P同时相应在BA和BD上滑动，且保持与BA、BD相切，至⊙P终止运动．设运动时间为t秒，试用含t的代数式表示P点坐标；并证明P点的横、纵坐标之和为定值；
（3）如图2，过D点作x轴的平行线交AB于E，D’B’与AB交于M，在满足（2）的前提下，t取何值时，⊙P可成为△D’EM的内切圆；如果⊙P与DE相切于点F，求△AEF的面积．
【答案】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可求，点P的横坐标和纵坐标；
（2）由等腰直角三角形BBM的性质可知：设点P的横坐标为8
-t，把P点的纵横坐标用t表示出来，从而找出P点的横、纵坐标之间的关系．
（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，根据内切圆的性质，分别求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根据已知关系求出t值，从而求出三角形AEF的面积．
解答：解：
（1）作PM⊥AB，
∵圆P与AB、BD与P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x轴，
而BP=
r=
，OB=
OA=8
，
∴点P的横坐标为8
，纵坐标为
，则P（8
，
），
（2）根据题意可知，点P的横坐标为8
-t，纵坐标为
+t，则P（8
-t，
+t），
因为8
-t+
+t=9
，所以P点的横、纵坐标之和为定值；
（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，D′M=2+
，B′M=4
-D′M=3
-2，BB′=6-2
，
即2t=6-2
，得t=3-
，
S△AEF=
×（
+1）（4
-
-1-3+
）=2．
点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法，作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．
（2）由等腰直角三角形BBM的性质可知：设点P的横坐标为8
-t，把P点的纵横坐标用t表示出来，从而找出P点的横、纵坐标之间的关系．（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，根据内切圆的性质，分别求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根据已知关系求出t值，从而求出三角形AEF的面积．
解答：解：
（1）作PM⊥AB，
∵圆P与AB、BD与P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x轴，
而BP=
r=，OB=OA=8，∴点P的横坐标为8
，纵坐标为，则P（8，），（2）根据题意可知，点P的横坐标为8
-t，纵坐标为+t，则P（8-t，+t），因为8
-t++t=9，所以P点的横、纵坐标之和为定值；（3）当⊙P成为△D′EM的内切圆时，D′M=2+
，B′M=4-D′M=3-2，BB′=6-2，即2t=6-2
，得t=3-，S△AEF=
×（+1）（4--1-3+）=2．点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法，作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
知C（0,10），
点P、Q同时从点出发，在线段OC上做往返匀速运动，设运动时间为t(s)，点P、Q离开点O的距离为S图②中线段OA、OB（A、B都在格点上）分别表示当0≤t≤6时P、Q两点离开点O的距离S与运动时间t
(s)的函数图像．
⑶如图①，在运动过程中，以OP为一边画正方形OPMD，点D在x轴正半轴上，作QE∥PD交x轴于E，设△PMD与△OQE重合部分的面积 为y，试求出当0≤t≤10时y与t(s)的函数关系式(写出相应的t的范围)．
知C（0,10），
点P、Q同时从点出发，在线段OC上做往返匀速运动，设运动时间为t(s)，点P、Q离开点O的距离为S图②中线段OA、OB（A、B都在格点上）分别表示当0≤t≤6时P、Q两点离开点O的距离S与运动时间t
(s)的函数图像．
⑶如图①，在运动过程中，以OP为一边画正方形OPMD，点D在x轴正半轴上，作QE∥PD交x轴于E，设△PMD与△OQE重合部分的面积 为y，试求出当0≤t≤10时y与t(s)的函数关系式(写出相应的t的范围)．