题目内容

【题目】如图,抛物线与直线交于A、B两点,其中A在y轴上,点B的横坐标为4,P为抛物线上一动点,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P在直线AB上方的抛物线上,设P的横坐标为m,用m的代数式表示线段PC的长,并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标.

(3)若点P是抛物线上任意一点,且满足0°<∠PAB≤45°。请直接写出:

①点P的横坐标的取值范围;

②纵坐标为整数点P为“巧点”,“巧点”的个数。

【答案】(1)

(2)

(3) 7个.

【解析】试题分析:(1)求出AB两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题.

(2)作PFx轴于F,交ABE,直线ABx轴于D.设Pm,-m2+m+1),则Em m+1),PE=-m2+4m,由△PCE∽△DOA,可得,构建二次函数后即可解决问题.

(3)①如图2中,取点F(1,4),连接AF、FB,首先证明△FAB是等腰直角三角形,推出∠FAB=45°,设直线AF交抛物线于P,可得直线AF的解析式为y=3x+1,利用方程组求出∠PAB=45°时,点P的坐标即可解决问题,再根据对称性求出P′APA时的点P′的坐标即可解决问题.

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3<yp或-yP<3,所以整数yp为4,5,6,0,1,2,又点P的横坐标m<4.推出对应的点P有7个,

试题解析:(1)由题意A(0,1),B(4,3),

A(0,1),B(4,3)代入y=-x2+bx+c得到

解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1.

(2)作PFx轴于F,交ABE,直线ABx轴于D

由题意D(-2,0),A(0,1),

Pm,-m2+m+1),则Em m+1),PE=-m2+4m

OA=1,OD=2,AD=

PFOA

∴∠DAO=∠DEF=∠PEC

∵∠AOD=∠PCE=90°,

∴△PCE∽△DOA

PC=-m2-4m),

PC=-m2-4m)=-m-2)2+

∵-<0,

m=2时,PC有最大值.最大值为,此时P(2,6);

(3)①如图2中,取点F(1,4),连接AFFB

A(0,1),B(4,3),

AF=FB=AB=

AF=FBAF2+BF2=AB2

∴△FAB是等腰直角三角形,

∴∠FAB=45°,设直线AF交抛物线于P

∴直线AF的解析式为y=3x+1

解得

A(0,1),

P ),

P′APA时,

直线P′A的解析式为y=-x+1,

,解得

P′,-

∴观察图象可知,满足条件0°<∠PAB≤45°的点P的横坐标m<4或4<m

②观察图象可知点P的纵坐标的范围3<yp或-yP<3

∴整数yp为4,5,6,0,1,2,又点P的横坐标m<4或4<m

∴对应的点P有7个,

∴“巧点”的个数为7个.

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