题目内容
【题目】如图,抛物线与直线交于A、B两点,其中A在y轴上,点B的横坐标为4,P为抛物线上一动点,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在直线AB上方的抛物线上,设P的横坐标为m,用m的代数式表示线段PC的长,并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标.
(3)若点P是抛物线上任意一点,且满足0°<∠PAB≤45°。请直接写出:
①点P的横坐标的取值范围;
②纵坐标为整数点P为“巧点”,“巧点”的个数。
【答案】(1)
(2),
(3) 且 7个.
【解析】试题分析:(1)求出A、B两点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题.
(2)作PF⊥x轴于F,交AB于E,直线AB交x轴于D.设P(m,-m2+m+1),则E(m, m+1),PE=-m2+4m,由△PCE∽△DOA,可得,构建二次函数后即可解决问题.
(3)①如图2中,取点F(1,4),连接AF、FB,首先证明△FAB是等腰直角三角形,推出∠FAB=45°,设直线AF交抛物线于P,可得直线AF的解析式为y=3x+1,利用方程组求出∠PAB=45°时,点P的坐标即可解决问题,再根据对称性求出P′A⊥PA时的点P′的坐标即可解决问题.
②观察图象可知点P的纵坐标的范围3<yp≤或-≤yP<3,所以整数yp为4,5,6,0,1,2,又点P的横坐标≤m<4.推出对应的点P有7个,
试题解析:(1)由题意A(0,1),B(4,3),
把A(0,1),B(4,3)代入y=-x2+bx+c得到
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
(2)作PF⊥x轴于F,交AB于E,直线AB交x轴于D.
由题意D(-2,0),A(0,1),
设P(m,-m2+m+1),则E(m, m+1),PE=-m2+4m
∴OA=1,OD=2,AD=,
∵PF∥OA,
∴∠DAO=∠DEF=∠PEC,
∵∠AOD=∠PCE=90°,
∴△PCE∽△DOA,
∴,
∴,
∴PC=-(m2-4m),
∵PC=-(m2-4m)=-(m-2)2+,
∵-<0,
∴m=2时,PC有最大值.最大值为,此时P(2,6);
(3)①如图2中,取点F(1,4),连接AF、FB,
∵A(0,1),B(4,3),
∴AF=,FB=,AB=
∴AF=FB,AF2+BF2=AB2,
∴△FAB是等腰直角三角形,
∴∠FAB=45°,设直线AF交抛物线于P,
∴直线AF的解析式为y=3x+1,
由
解得或,
∵A(0,1),
∴P(, ),
当P′A⊥PA时,
直线P′A的解析式为y=-x+1,
∴,解得或,
∴P′(,-)
∴观察图象可知,满足条件0°<∠PAB≤45°的点P的横坐标≤m<4或4<m≤.
②观察图象可知点P的纵坐标的范围3<yp≤或-≤yP<3
∴整数yp为4,5,6,0,1,2,又点P的横坐标≤m<4或4<m≤.
∴对应的点P有7个,
∴“巧点”的个数为7个.