Question

如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点P．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若CP=2，PF=8，求AC的长．

Answer 1

分析：要证明BE是切线，连接OB，证明OB⊥BE即可；由角度关系可得△ACP∽△FCA，进而利用线段的比例代入数值求解AC的长度．

解答：（1）证明：连接OB；
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°．
∴∠CBE=180°-60°-60°=60°．
又∵∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°．
即OB⊥BE．
∴BE是⊙O的切线．

（2）解：连接AP；
则∠APC=∠ABC=∠CAF=60°．
又∵∠ACP=∠FCA，
∴△ACP∽△FCA．
∴

AC

CF

=

CP

AC

，即AC2=CF•CP．
∵CP=2，PF=8，
∴CF=10．
∴AC²=CF•CP=20．
∴AC=2

5

．

点评：熟练掌握切线的性质，会利用三角形相似求解一些简单的计算问题．