Question

【题目】在△ABC中，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=a。

（1）如图1，连结AE，求证：AE=BC；

（2）如图2，BC=4时，将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF。

①若=90°，依题意补全图2，求线段AF的长；

②请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）补全图形见解析，AF的长为

（3）AF的长为8sin

【解析】分析(1)由∠ADB=∠CDE，可得∠ADE=∠BDC，据SAS得到△ADE≌△BDC，从而得证.（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．

本题解析: 分析：（1）（1）∵∠ADB=∠CDE，

∴∠ADB+∠BDE=∠CDE+∠BDE,∴∠ADE=∠BDC,

在△ADE与△BDC中，

∵

∴△ADE≌△BDC。∴AE=BC

（2）①补全图形。设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，如图:

由（1）得△ADE≌△BDC。∴∠AED=∠BCD。

∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC。

∴∠EGH=∠EDC=90°。

∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，

∴EF=CB=4，EF∥CB。∴AE=EF。

∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°。

∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°。

∴AF=。

②如图2，

过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，

∴∠AEM=∠FEM=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin.