Question

如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，连接AB、AC，∠ABC=α，∠ACB=β，则=________．

Answer 1

分析：过A作AD⊥BC于D，则得到三角形ABD和ACD为直角三角形，然后由角P为公共角，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到角CAP等于角B，由两组对应角相等得到两三角形相似，得到对应边成比例，根据锐角三角函数定义表示出sinα和sinβ的比值，将已知的PA和PC的长代入即可求出值．
解答：解：作AD⊥BC于D．则sinα=，sinβ=，
∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△ACP∽△BAP，∴=，又PA=8，PC=4，
则=÷===；
故答案是：．
点评：此题切线的性质，三角形相似的判别与性质，以及锐角三角函数的定义．作出AD垂直于BC构造两直角三角形是解本题的关键．解答此类题的方法是仔细审题，结合图形，找到突破点．