题目内容
已知平面内点P到⊙O上各点的最大距离为10,最小距离为4,则⊙O的半径r=________.
答案:7或3
解析:
解析:
思路与技巧:如图,当点P在⊙O内时,过点P作直径AB,则PA、PB的长分别是点P到⊙O上各点的最小距离和最大距离,这个结论我们可以通过比较来验证:过点P作任意弦CD(不过圆心),连结OC、OD,根据三角形的三边关系可知:OP+PC>OC,而OC=OA=OP+PA,∴OP+PC>OP+PA.故PA<PC.因此PA的长是点P到⊙O上各点的最小距离.又因为OP+OD>PD,所以OP+OB>PD,即PB>PD.因此PB的长是点P到⊙O上各点的最大距离.因此,由题意可知PA=4,PB=10,直径AB=14,半径r=7. 如图,当点P在⊙O外时,类似地,可求得点P到⊙O上各点的最小距离PA=4,最大距离PB=10,直径AB=6,半径r=3. 综上所述,⊙O的半径r应为7或3. 评析:通过本例,我们能发现:已知点P与⊙O,直线PO交⊙O于A、B两点,若PA<PB,则PA、PB的长分别是点P到⊙O上各点的最小距离与最大距离. |
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