题目内容

(2012•随州模拟)如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D点,E为BC的中点,连接ED并延长交BA延长线于F点.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)若AB=
,AD=1,求线段AF的长;
(3)当D为EF的中点时,试探究线段AB与BC之间的数量关系.
分析:(1)连接BD,DO,则可得∠ODA=∠OAD,结合直径所对的圆周角为90°,可得∠ADB=90°,从而可证明OD⊥DE,也可得出结论.
(2)设AF=x,则FD=
=
(切割线定理),在RT△ABD中,求出BD,然后判断△AFD∽△DFB,利用相似三角形的性质可得出关于x的方程,解出即可得出答案;
(3)根据切线的性质及直角三角形中斜边中线等于斜边一半可判断出△DEB为等边三角形,然后可得出∠BCD=30°,继而可得出线段AB与BC之间的数量关系.
解答:
证明:(1)连接BD,DO,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即∠OAD+∠ABD=90°,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
又∵∠ADF=∠ABD,
∴∠ADF+∠ODA=90°.
即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线;
(2)设AF=x,则FD=
=
(切割线定理),
在RT△ABD中,BD=
=2,
∵∠AFD=∠DFB,∠FDA=∠FBD,
∴△AFD∽△DFB,
∴
=
=
,即
=
,
解得:x=
,即线段AF的长度为
;
(3)∵点D为EF中点,
∴BD=FD=DE(斜边中线等于斜边一半),
又∵ED=EB(切线的性质),
∴△EDB为等边三角形,
∴∠DBE=60°,∠BCD=30°,
∴BC=
AB;
点评:此题属于圆的综合题,涉及了解直角三角形、切割线定理切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质,考察的知识点较多,解答第二问是本题的难点,关键是表示用AF表示出FD,难度较大.
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