题目内容
（2007•镇江）探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数an与层数n之间满足关系式an=n2-32n+247，1≤n＜16，n为整数．（1）例如，当n=2时，a2=22-32×2+247=187，则a5=______，a6=______；
（2）第n层比第（n+1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由；
（4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？
【答案】分析：（1）把n=5，n=6分别代入进行计算；
（2）方法一：分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法运算；
方法二是通过计算几个特殊值，找到规律，再进一步计算；
（3）令an≥0进行分析求解；
（4）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；
②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
解答：解：（1）当n=5时，原式=25-160+247=112，
当n=6时，则原式=36-192+247=91．（2分）
（2）方法一：an-an+1=（n2-32n+247）-[（n+1）2-32（n+1）+247]=31-2n，（3分）
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4分）
方法二：a1-a2=29=31-2×1，a2-a3=27=31-2×2，
a3-a4=25=31-2×3，a4-a5=23=31-2×4，（3分）
由此得an-an+1=31-2n，
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4）
（3）方法一：an=（n2-32n+256）+247-256=（n-16）2-9，（5分）
由题设条件，当n≤13时，an≥0，
∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）
方法二：由an=n2-32n+247的图象知：当1≤n＜16时，an随n的增大而减小．
∵a12=7＞0，a13=0．
∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）
（4）①由题意得
，
即第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N．（7分）
②当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
因此，该仪器箱最多可以堆放5层．（8分）
点评：本题体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考，是学生数学素养的体现．此题要能够根据所给的公式进行分析计算．
（2）方法一：分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法运算；
方法二是通过计算几个特殊值，找到规律，再进一步计算；
（3）令an≥0进行分析求解；
（4）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；
②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
解答：解：（1）当n=5时，原式=25-160+247=112，
当n=6时，则原式=36-192+247=91．（2分）
（2）方法一：an-an+1=（n2-32n+247）-[（n+1）2-32（n+1）+247]=31-2n，（3分）
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4分）
方法二：a1-a2=29=31-2×1，a2-a3=27=31-2×2，
a3-a4=25=31-2×3，a4-a5=23=31-2×4，（3分）
由此得an-an+1=31-2n，
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4）
（3）方法一：an=（n2-32n+256）+247-256=（n-16）2-9，（5分）
由题设条件，当n≤13时，an≥0，
∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）
方法二：由an=n2-32n+247的图象知：当1≤n＜16时，an随n的增大而减小．
∵a12=7＞0，a13=0．
∴仪器箱最多可以堆放12层．（6分）
（4）①由题意得
，即第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N．（7分）
②当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：
因此，该仪器箱最多可以堆放5层．（8分）
点评：本题体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考，是学生数学素养的体现．此题要能够根据所给的公式进行分析计算．
练习册系列答案
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（2007•镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．
图：
表：
（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为______．
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
图：
表：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| an | 1 | 3 | 7 | 15 | … |
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
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图：
表：
（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为______．
若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．
（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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图：
表：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| an | 1 | 3 | 7 | 15 | … |
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②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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表：
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（2）设直线l2：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=
（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
图：
表：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| an | 1 | 3 | 7 | 15 | … |
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③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
