Question

【题目】如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣ ）2﹣ （a≠0），

将点M（2，0）代入可得：a（2﹣ ）2﹣ =0，

解得a=1．

故抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣

（2）

解：由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣ ．

则对称轴为x= ，

∴点A与点M（2，0）关于直线x= 对称，

∴A（1，0）．

令x=0，则y=﹣2，

∴B（0，﹣2）．

在直角△OAB中，OA=1，OB=2，则AB= ．

设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．

∴直角△AOG是等腰直角三角形，

∴∠AGO=45°．

∵点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y= （k＞0）图象位于点一、三象限．

故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：

①此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，

过点D作DN⊥y轴于点N，

在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，

∴DN=BN= = ，

∴D（﹣ ，﹣ ﹣2），

∵点D在反比例函数y= （k＞0）图象上，

∴k=﹣ ×（﹣ ﹣2）= + ；

②此菱形以AB为对角线，如图2，

作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y= （k＞0）的图象于点D．

再分别过点D、B作DE⊥x轴于点F，BE⊥y轴，DE与BE相较于点E．

在直角△BDE中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，

∴BE=DE．

可设点D的坐标为（x，x﹣2）．

∵BE2+DE2=BD2，

∴BD= BE= x．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BD= x．

∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（ x）=（x+1）2+（x﹣2）2，

解得x= ，

∴点D的坐标是（ ， ）．

∵点D在反比例函数y= （k＞0）图象上，

∴k= × = ，

综上所述，k的值是 + 或 ．

【解析】（1）设抛物线方程为顶点式y=a（x﹣ ）2﹣ ，将点M的坐标代入求a的值即可；（2）设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）．则直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k＞0，所以反比例函数y= （k＞0）图象位于点一、三象限．故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：①此菱形以AB为边且AC也为边，②此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得k的值即可．
【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和二次函数的性质，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．