题目内容
(2012•十堰)阅读材料:
例:说明代数式
+
的几何意义,并求它的最小值.
解:
+
=
+
,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则
可以看成点P与点A(0,1)的距离,
可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3
,即原式的最小值为3
.
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式
+
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B
(2)代数式
+
的最小值为
例:说明代数式
x2+1 |
(x-3)2+4 |
解:
x2+1 |
(x-3)2+4 |
(x-0)2+12 |
(x-3)2+22 |
(x-0)2+12 |
(x-3)2+22 |
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3
2 |
2 |
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式
(x-1)2+1 |
(x-2)2+9 |
(2,3)
(2,3)
的距离之和.(填写点B的坐标)(2)代数式
x2+49 |
x2-12x+37 |
10
10
.分析:(1)先把原式化为
+
的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论;
(2)先把原式化为
+
的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,再根据在坐标系内描出各点,利用勾股定理得出结论即可.
(x-1)2+12 |
(x-2)2+32 |
(2)先把原式化为
(x-0)2+72 |
(x-6)2+1 |
解答:解:(1)∵原式化为
+
的形式,
∴代数式
+
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B(2,3)的距离之和,
故答案为(2,3);
(2)∵原式化为
+
的形式,
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,
如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,
∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,
∵A(0,7),B(6,1)
∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8,
∴A′B=
=
=10,
故答案为:10.
(x-1)2+12 |
(x-2)2+32 |
∴代数式
(x-1)2+1 |
(x-2)2+9 |
故答案为(2,3);
(2)∵原式化为
(x-0)2+72 |
(x-6)2+1 |
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,
如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,
∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,
∵A(0,7),B(6,1)
∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8,
∴A′B=
A′C2+BC2 |
62+82 |
故答案为:10.
点评:本题考查的是轴对称-最短路线问题,解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形,再利用数形结合求解.
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