题目内容

精英家教网利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理、内心定理和垂心定理：
分析：①由AD，BE，CF是△ABC的中线，根据中线的性质得到
BD
DC
•
CE
CA
•
AF
FB
=1，得到AD，BE，CF三条中线交于一点．
②由AD，BE，CF是△ABC的内角平分线，根据角平分线定理得到
BD
DC
=
AB
AC
，
CE
EA
=
BC
AB
，
AF
FB
=
AC
BC
．把它们分别相乘然后利用塞瓦定理，得到AD，BE，CF三条内角平分线交于一点．
③由AD，BE，CF是△ABC的三条高线，则△ABD∽△CBF，得到
BD
FB
=
AB
BC
；△ACD∽△BCE，得到
CE
CD
=
BC
AC
；△ABE∽△ACF，得到
AF
AE
=
AC
AB
．把它们分别相乘然后利用塞瓦定理，得到AD，BE，CF三条高线或延长线交于一点．
解答：证明：①如果AD，BE，CF是△ABC的中线，则BD=DC，CE=AE，AF=FB．
∴
BD
DC
•
CE
CA
•
AF
FB
=1，
∴AD，BE，CF三条中线交于一点；

②如果AD，BE，CF是△ABC的内角平分线，
则
BD
DC
=
AB
AC
，
CE
EA
=
BC
AB
，
AF
FB
=
AC
BC
．
∴
BD
DC
•
CE
EA
•
AF
FB
=
AB
AC
•
BC
AB
•
AC
BC
=1，
因此AD，BE，CF三条内角平分线交于一点；

③如果AD，BE，CF是△ABC的三条高线，
∵△ABD∽△CBF，
∴
BD
FB
=
AB
BC
，
∵△ACD∽△BCE，
∴
CE
CD
=
BC
AC
，
∵△ABE∽△ACF，
∴
AF
AE
=
AC
AB
．
∴
BD
DC
•
CE
EA
•
AF
FB
=
BD
FB
•
CE
DC
•
AF
EA
=
AB
BC
．
BC
AC
•
AC
AB
=1，
因此AD，BE，CF三条高线或延长线交于一点．
点评：本题考查了塞瓦定理的运用．也考查了三角形中线、角平分线和高的性质以及三角形相似的性质．
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