题目内容
【题目】如图，将矩形ABCD沿AH折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．折痕与边BC交于点 H,
已知AD=8，HC:HB=3:5.
（1）求证：△HCP∽△PDA；
（2） 探究AB与HB之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）连结BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=2BH.，理由见解析；(3) EF的长度不变．
【解析】试题分析：（1）根据两角对应相等的两三角形相似可求证；
（2）根据（1）的结论，由相似三角形的性质可求出二者之间的关系；
（3）作MQ∥AB交PB于Q，可得∠MQP=∠ABP， 然后由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，即∠MQP=∠APB，根据等角对等边可得MP=MQ，又BN=PM，根据等量代换可得MQ=BN，然后由平行线分线段成比例可求EF=
PB，最后根据勾股定理求解.
试题解析：（1）由折叠的性质可知，
∠APH=∠B=90°， ∴∠APD+∠HPC=90°，
又∠PHC+∠HPC=90°， ∴∠APD=∠PHC，
又∠D=∠C=90°，∴△HCP∽△PDA；
（2）AB=2BH.
∵HC:HB=3:5，设HC=3x，则HB=5x，
在矩形ABCD中，BC=AD=8 ，∴HC=3，则HB=5
由折叠的性质可知HP=HB=5,AP=AB,
在Rt△HCP,易得PC=4，
∵△HCP∽△PDA
∴
,∴
∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.
（3）EF的长度不变．
作MQ∥AB交PB于Q， ∴∠MQP=∠ABP，
由折叠的性质可知，∠APB=∠ABP，
∴∠MQP=∠APB，
∴MP=MQ，又BN=PM，∴MQ=BN，
∵MQ∥AB，∴
，
∴QF=FB，
∵MP=MQ，ME⊥BP， ∴PE=QE，∴EF=
PB，
由（2）得，PC=4，BC=8，
∴PB=
=
，
∴EF=
