Question

如图，边长为n的正△DEF的三个顶点恰好在边长为m的正△ABC的各边上，则△AEF的内切圆半径为（　　）

• A、

  3

  6

  (m-n)
• B、

  3

  4

  (m-n)
• C、

  3

  3

  (m-n)
• D、

  3

  2

  (m-n)

Answer 1

分析：由于△ABC、△EFD都是等边三角形，因此它们的内心重合，设△ABC的内心为M，△AEF的内心为N，连接FN、MF，可先证MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．

解答：解：设△AEF的内切圆半径为r，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，
S_△ABC=

3

4

m²，S_△DEF=

3

4

n²，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

3

12

（m²-n²），
则r=

2 S△AEF

AE+AF+EF

=

3

6

（m-n）．
故选A．

点评：此题考查的知识点有：等边三角形的性质、三角形的内切圆、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大．