Question

如图，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在这条抛物线上，且点B的横坐标为2．连接AB并延长交y轴于点C，抛物线的对称轴交AC于点D，交x轴于点E．点P在线段CA上，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为m．
（1）求直线AB对应的函数解析式．
（2）当四边形DEMQ为矩形时，求点Q的坐标．
（3）设线段PQ的长为d（d＞0），求d关于m的函数解析式．
（4）在（3）的情况下，请直接写出当d随着m的增大而减小时，m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令y=0，则-x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴点A的坐标为（8，0），
∵点B的横坐标为2，
∴y=-×2²+5×2=，
∴点B的坐标为（2，），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+10；

（2）抛物线y=-x²+5x的对称轴为直线x=-=4，
x=4时，y=-×4+10=5，
∴DE=5，
∵四边形DEMQ为矩形，
∴MQ=5，即点Q的纵坐标为5，
∴-x²+5x=5，
整理得，x²-8x+8=0，
解得x₁=4-2，x₂=4+2（舍去），
∴点Q的坐标为（4-2，5）；

（3）∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴交抛物线于点Q，
∴点P（m，-m+10），点Q（m，-m²+5m），
①点P在线段CB上时，线段PQ的长为d=（-m+10）-（-m²+5m）=m²-m+10，
即d=m²-m+10；
②点P在线段AB上时，线段PQ的长为d=（-m²+5m）-（-m+10）=-m²+m-10，
即d=-m²+m-10，
∴d与m的关系式为d=；

（4）①点P在线段CB上时，函数d=m²-m+10的对称轴为直线m=-=5，
∵＞0，
∴d＜5时，d随着m的增大而减小，
∵点P在线段CB上，
∴0＜d＜2，
②点P在线段AB上时，函数d=-m²+m-10的对称轴为直线m=-=5，
∵-＜0，
∴d＞5时，d随着m的增大而减小，
∵点P在线段AB上，
∴5＜d＜8，
综上所述，d随着m的增大而减小时，m的取值范围是0＜d＜2或5＜d＜8．
分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点A的坐标，再把x=2代入抛物线求出点B的坐标，然后设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，然后求出点D的坐标，得到DE的长度，再根据矩形的对边相等求出点Q的纵坐标然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得解；
（3）分点P在线段CB上和在线段AB上两种情况，用点P的纵坐标和点Q的纵坐标表示出PQ的长度，列式整理即可；
（4）分别求出二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数的增减性解答．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求法，待定系数法求一次函数解析式，垂直于坐标轴的两点间的距离的表示，以及二次函数的增减性，（3）（4）两个小题注意要根据点P的位置分情况讨论．