Question

如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AF为角平分线，AF交BC于F，交CD于E，过E作EG∥AB，与BC交于G，过F向AB作垂线，垂足为H．
求证：（1）CF=BG；
（2）四边形CEHF是菱形．

Answer 1

解：（1）由AF平分∠CAB，CD⊥AB，FH⊥AB，可推出∠CFE=∠CEF，从而证得CF=CE．
由FH⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠BAC，可得CF=FH，
∴CE=FH，
又∵EG∥AB，
∴∠CGE=∠B，∠CEG=∠FHB．可推得△GEC≌△BHF．
推出CG=FB．
∴CF=BG．

（2）由（1）证明可知CEFH．
∴CFHE为平行四边形，
又∵CF=FH，
∴CFHE是菱形．
分析：（1）由题中条件可得△GEC≌△BHF，即CG=BF，进而可求解CF=BG
（2）由题意可得其为平行四边形，由（1）得CF=FH，在平行四边形的基础上，一组邻边相等，所以是菱形．
点评：掌握全等三角形的性质及判定，能够熟练运用菱形的性质，掌握菱形的判定．