Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，E为AB延长线上的点，作OD∥BC交EC的延长线于点D，连接AD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DE是⊙O的切线，CD=3，CE=2，求tanE和cos∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∵OD∥BC，

∴OD⊥AC，

∴OD平分AC，即OD垂直平分AC，

∴AD=CD

（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，

∵BC∥OD，

∴ = ，即 = ，解得BE= r，

∵DE为切线，

∴OC⊥DE，

∴∠OCD=∠OCE=90°，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD，

∴∠OAD=90°，

在Rt△ADE中，∵AD=AC=3，DE=DC+CE=5，

∴AE= =4，

∴tanE= = ，

∵OD∥BC，

∴∠ABC=∠AOD，

在Rt△AOD中，OD= = = ，

∴cos∠AOD= = = ，

∴cos∠ABC=

答：tanE= ，cos∠ABC= ．

【解析】（1）先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用OD∥BC得到OD⊥AC，然后根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可得到结论； 2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先利用平行线分线段成比例定理得到r= ，再证明△OAD≌△OCD得到∠OAD=90°，则根据勾股定理可计算出AE=4，这样利用正切定理可得tanE的值，再利用OD∥BC得到∠ABC=∠AOD，然后在Rt△AOD中，先计算出OD，再利用余弦得到cos∠AOD的值，从而得到cos∠ABC的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的外接圆与外心的相关知识，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．