Question

1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角形我们叫作杨辉三角形
（a+b）⁰=1…1
（a+b）¹=a+b…1　　 1
（a+b）²=a²+2ab+b²…1　　 2　　　1
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³…1　　3　　 3　　　1
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴…••1　　 4　　 6　　 4　　 1　　 1
（1）请写出第五行的数字______；
（2）第n行杨辉三角形数字与（a+b）ⁿ的展开结果关系如上图所示，请写出（a+b）⁵的展开结果；
（3）已知（a-b）¹=a-b，（a-b）²=a²-2ab+b²，（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³（a-b）⁴=a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴．请写出（a-b）⁵的展开结果．

Answer 1

解：（1）根据题意可推出第五行的数字为：1、5、10、10、5、1，

（2）（a+b）⁵=（a+b）³（a+b）²
=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，

（3）（a-b）⁵=（a-b）³（a-b）²
=（a³-3a²b+3ab²-b³）（a²-2ab+b²）
=a⁵-5a⁴b+10a³b²-10a²b³+5ab⁴-b⁵．
故答案为1、5、10、10、5、1．
分析：（1）根据题意推出规律即可，（2）把（a+b）5转化为（a+b）²（a+b）³，然后利用完全平方公式和立方和公式进行计算即可，（3）（a-b）⁵转化为（a-b）³（a-b）²，然后利用完全平方公式和立方差公式进行计算即可，
点评：本题主要考查完全平方公式，关键在于根据题意归纳分析出杨辉三角形的规律．