Question

【题目】如图，已知直线AB的函数解析式为y＝2x＋10，与y轴交于点A，与x轴交于点B.

（1）求A，B两点的坐标；

（2）若点P（a，b）为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，问：

①若△PBO的面积为S，求S关于a的函数解析式；

②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（0，10），B（－5，0）；（2）①S＝5a＋25（－5≤a≤0）；②存在点P使得EF的值最小，最小值为2.

【解析】（1）由直线AB解析式，令x=0与y=0分别求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；

（2）①把P坐标代入直线AB解析式，得到a与b的关系式，三角形POB面积等于OB为底边，P的纵坐标为高，表示出S与a的解析式即可；

②存在，理由为：利用三个角为直角的四边形为矩形，得到四边形PFOE为矩形，利用矩形的对角线相等得到EF=PO，由O为定点，P为动点，得到OP垂直于AB时，OP取得最小值，利用面积法求出OP的长，即为EF的最小值．

（1）对于直线AB的解析式y＝2x＋10，

令x＝0，得到y＝10，

令y＝0，得到x＝－5，

则A（0，10），B（－5，0）；

（2）连接OP，如图，

①∵P（a，b）在线段AB上，∴b＝2a＋10，

由0≤2a＋10≤10，得到－5≤a≤0，

由（1）得OB＝5，

∴＝OB·（2a＋10），

则S＝（2a＋10）＝5a＋25（－5≤a≤0）；

②存在，理由：

∵∠PFO＝∠FOE＝∠OEP＝90°，

∴四边形PFOE为矩形，∴EF＝PO，

∵O为定点，P在线段AB上运动，

∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，

∵AB·OP＝OB·OA，

即×5·OP＝×5×10，解得OP＝2，

∴EF＝OP＝2，

综上，存在点P使得EF的值最小，最小值为2.