Question

【题目】如图，BC为⊙O的直径，CA是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接CD,∠BAC的平分线交BC于点E，交CD于点F．

（1）求证：CE=CF；

（2）若BD=DC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）如下图，由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，由此可得∠1+∠3=90°，∠2+∠5=90°结合∠1=∠2，可得∠3=∠5，结合∠3=∠4可得∠4=∠5，从而可得CE=CF；

（2）由（1）中所得∠1=∠2，∠3=∠5可得△ADF∽△ACE，由此可得 由BD=DC，∠BDC=90°可得tan∠ABC=，再证∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=，这样在Rt△ACD中，可得sin∠ACD=，由此即可得到.

（1）∵BC为直径，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

∴∠1+∠3=90° ，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠5=90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4

∴∠4=∠5，

∴ CF=CE ；

（2）由（1）可知∠1=∠2，∠3=∠5，

∴△ADF∽△ACE，

∴，

∵BD=DC，∠BDC=90°，

∴tan∠ABC=，

∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°

∴∠ACD=∠ABC，

∴tan∠ACD=，

∴sin∠ACD=，

∴.