下列说法①如图1.扇形OAB的圆心角∠AOB=90°.OA=6.点C是AB上异于A.B的动点.过点C作CD⊥OA于D.作CE⊥OB于E.连接DE.点G在线段DE上.且DG=13DE.连接CG．当点C在AB上运动时.在CD.CG.DG中.长度不变的是DG,②如图2.正方形纸片ABCD的边长为8.⊙O的半径为2.圆心O在正方形的中心上.将纸片按图示方式折叠.折叠后点A于点H� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

下列说法
①如图1，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C是

上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于D，作CE⊥OB于E，连接DE，点G在线段DE上，且DG=

DE，连接CG．当点C在

上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG；
②如图2，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A于点H重合，且EH切⊙O于点H，延长FH交CD边于点G，则HG的长为

；
③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则其内心和外心之间的距离是

cm．
其中正确的有

①②

（请写序号，少选，错选均不得分）

分析：①连接OC，由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；
②连AC，过F作FM⊥DC于M，根据折叠的性质得∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，由EH恰好与⊙0相切于点H，根据切线的性质得OH⊥EH，则点F、H、O共线，即FG过圆心O；再根据正方形的性质得到AC经过点O，且OA=OC，易证得△OAF≌△OCG，则OF=OG，AF=CG，易得FH=GN，设FA=x，DC=8，ON=2，则FH=DM=CG=GN=x，FG=FH+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，在Rt△FGM中，利用勾股定理得到FG²=FM²+MG²，即（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解出x=

，则可计算出HG=HN+NG=4+

；
③首先运用勾股定理求出斜边AB=5cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为

cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=

a+b-c

，（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．

解答：①

解：连接OC，如图1，
∵扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠AOE=∠CEO=∠CDO=90°，
∴四边形EODC是矩形，
∴OC=DE，
∵DG=

DE，
∴DG=

OC=

DE，
∴当点C在

上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG，故该选项正确；

②解：连AC，过F作FM⊥DC于M，如图2．
∵△AEF沿EF折叠得到△HEF，

∴∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，
∵EH恰好与⊙0相切于点H，
∴OH⊥EH，
∴点F、H、O共线，即FG过圆心O，
又∵点O为正方形的中心，
∴AC经过点O，
∴OA=OC，
在△OAF和△OCG中，

∠AFO=∠CGO

∠AOF=∠COG

AO=CO

，
∴△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
设FA=x，DC=8，ON=2，则FH=DM=CG=GN=x，FG=FM+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，FG²=FM²+MG²，
∴（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解得x=

，
HG=HN+NG=4+

，故该选项正确；

③解：如图3，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm，
∴AM为外接圆半径，
∴AM=

AB=2.5cm
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD=OE=r，∠C=90°，

∵四边形OECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=3-r，BD=BN=4-r，
即4-r+3-r=5，
解得r=1cm，
∴AN=2cm；
在Rt△OMN中，
MN=AM-AN=

-2=

cm，
∴OM=

12+(

cm，
∴内心和外心之间的距离是

cm，故该选项错误；
故答案为：①②．

点评：①本题考查了矩形的判定、矩形的性质以及圆的半径处处相等的性质．
②本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了折叠和正方形的性质以及勾股定理．
③本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=

a+b-c

．