题目内容

(2006•江西)一条抛物线y=x2+mx+n经过点(0,)与(4,).
(1)求这条抛物线的解析式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,当⊙P与坐标轴相切时,求圆心P的坐标.

【答案】分析:(1)将已知点的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式.进而可求出抛物线的顶点坐标;
(2)本题要分两种情况进行讨论:
①当圆与y轴相切时,那么圆心的横坐标的绝对值为1,可将其横坐标(分正负两个)代入抛物线的解析式中,即可求出P点的坐标;
②当圆与x轴相切时,那么圆心的纵坐标的绝对值为1,然后仿照①的方法即可求出P点的坐标.
解答:解:(1)由抛物线过(0,),(4,)两点,

解得
∴抛物线的解析式是:y=x2-x+,(3分)
由y=x2-x+=(x-2)2+,得抛物线的顶点(2,);

(2)设点P的坐标为(x,y
①当圆P与y轴相切时,有|x|=1,
∴x=±1
由x=1,得y=×1-1+=
由x=-1,得y=×(-1)2-(-1)+=
此时,点P的坐标为P1(1,),P2(-1,);
②当圆P与x轴相切时,有|y|=1
∵抛物线的开口向上,顶点在x轴的上方,y>0,∴y=1
由y=1,得x2-x+=1
解得x=2±
此时,点P的坐标为P1(2-,1),P4(2+,1)
综上所述,圆心P的坐标为P1(1,),P2(-1,),P3,1),P4,1).
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定以及切线的判定,要注意的是(2)题中要分与x轴相切和与y轴相切两种情况进行讨论,不要漏解.
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