Question

如图，大楼AB的高为16米，远处有一塔CD，小明在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求：
（1）塔CD的高度；
（2）若将题目中的数据16米、60°、45°分别改为m米、∠α、∠β（α＞β），请用含m、α、β的式子表示塔CD的高度．

Answer 1

分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．

解答：解：（1）作BE⊥CD于E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
则有CE=AB=16，AC=BE．
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=

3

AC．
∵16+DE=DC，
∴16+AC=

3

AC，
解得：AC=8

3

+8=DE．
所以塔CD的高度为（8

3

+24）米；

（2）根据（1）得：Rt△BED中，DE=BE=AC•tanβ，
Rt△DAC中，CD=ACtanα，
∵AB=CD-DE=m，
∴AC•tanα-AC•tanβ=m，
解得：AC=

m

tanα-tanβ

．
则CD的高度是：

m•tanα

tanα-tanβ

．

点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．