题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.(备注:在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半)
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)、证明见解析;(2)、t=10;(3)、t=或12,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)、根据Rt△ABC的性质得出AB=30cm,根据CD=4t,AE=2t以及Rt△CDF的性质得出答案;
(2)、根据DF∥AB,DF=AE,得出四边形AEFD是平行四边形,根据菱形的性质得出t的值;
(3)、本题需要分两种情况分别进行计算.当∠EDF=90°时,AD=2AE,从而求出t的值;当∠DEF=90°时,AE=2AD,从而求出t的值.
试题解析:(1)、∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,
∴AB=AC=×60=30cm
∵CD=4t,AE=2t, 又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,
∴DF=CD=2t
∴DF=AE
(2)、能。
∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10
∴当t=10时,AEFD是菱形
(3)、若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,
则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=。
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,
则AE=2AD,即2t=2(60-4t),解得:t=12。
综上所述,当t=或12时,△DEF为直角三角形