Question

16、设A=x²+y²+2x-2y+2，B=x²-5x+5，x，y均为正整数．若B^A=1，则x的所有可以取到的值为

1，2，3，4

Answer 1

分析：如果B^A=1，那么可能有三种情况：①A=0且B≠0，②B=1，③B=-1且A为偶数．首先判断当x，y均为正整数时，A≠0，所以排除第一种情况；然后分别令B=1，B=-1，求出对应的x的值，并判断B=-1时A是否为偶数．

解答：解：∵A=x²+y²+2x-2y+2=（x+1）²+（y-1）²，
∴当x=-1且y=1时，A=0，
而x，y均为正整数，
∴A≠0．
分如下两种情况：
①当B=1时，x²-5x+5=1，
即x²-5x+4=0，
解得x=1或4；
②当B=-1时，x²-5x+5=-1，
即x²-5x+6=0，
解得x=2或3．
当x=2时，A=（2+1）²+（y-1）²=9+（y-1）²，y为偶数时，A为偶数，符合题意；
当x=3时，A=（3+1）²+（y-1）²=16+（y-1）²，y为奇数时，A为偶数，符合题意．
综上可知，x的所有可以取到的值为1，2，3，4．
故答案为1，2，3，4．

点评：本题主要考查有理数乘方的运算性质及分类讨论思想，属于竞赛题型，有一定难度．