题目内容
【题目】如图,长方形AOBC在直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,已知点C的坐标是(8,4).
(1)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M,连接AM,求线段AM的长;
(2)在x轴上是否存在一个点P,使△PAM为等腰三角形?如果有请直接写出符合题意的所有点P的坐标.
【答案】(1)AM=5;(2)△PAM为等腰三角形,点P的坐标是(-3,0)或(-2,0)或(8,0或(-,0).
【解析】
(1)设AM=x,则BM=x,OM=8-x,根据勾股定理列方程得:AO2+OM2=AM2,则42+(8-x)2=x2,解出即可;
(2)△PAM为等腰三角形时,分情况进行讨论:①以A为圆心,以AM为半径画圆;②以M为圆心,以MA为半径,画圆;③作AM的垂直平分线;确定点P的位置,分别计算可得结论.
(1)由题意得:OA=4,OB=8,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴AM=BM,
设AM=x,则BM=x,OM=8-x,
Rt△AOM中,由勾股定理得:AO2+OM2=AM2,
∴42+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
∴AM=5;
(2)如图,①当AP1=AM=5时,OM=OP1=3,此时P1(-3,0);
②当AM=P2M=P3M=5时,此时P2(-2,0),P3(8,0);
③如图,作AM的垂直平分线,交AM于E,交x轴于P4,
∴EM=,
sin∠EP4M==sin∠OAM=,
∴P4M=,
∴OP4=-3=,此时P4(-,0),
综上,△PAM为等腰三角形,点P的坐标是(-3,0)或(-2,0)或(8,0)或(-,0)
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