题目内容
【题目】抛物线过A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,抛物线上一点D在线段AC的上方,DE⊥AB交AC于点E,若满足,求点D的坐标;
(3)如图②,F为抛物线顶点,过A作直线l⊥AB,若点P在直线l上运动,点Q在x轴上运动,是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似,若存在,求P、Q的坐标,并求此时△BPQ的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)D(
,
);(3)P(2,﹣2),Q(﹣3,0),S△BPQ=
或P(2,2),Q(3,0),S△BPQ=
或P(2,﹣5),Q(﹣1,0),S△BPQ=17或P(2,﹣1),Q(5,0),S△BPQ=5.
【解析】试题分析:(1)由对称性和A(2,3),B(4,3),可知抛物线的对称轴是:x=3,利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式;
(2)如图1,先利用待定系数法求直线AC的解析式,设点D(m,﹣m+6m﹣5),则点E(m,﹣2m+7),根据解析式表示DE和AE的长,由已知的比例式列式得结论;
(3)根据题意得:△BPQ为等腰直角三角形,分三种情况:
①若∠BPQ=90°,BP=PQ,如图2,作辅助线,构建全等三角形,证明△BAP≌△QMP,可得结论;如图3,同理可得结论;
②若∠BQP=90°,BQ=PQ,如图4,证得:△BNQ≌△QMP,则NQ=PM=3,NG=1,BN=5,从而得出结论;如图5,同理易得△QNB≌△PMQ,可得结论;
③若∠PBQ=90°,BQ=BP,如图6,由于AB=2≠NQ=3,此时不存在符合条件的P、Q.
试题解析:解:(1)根据题意,设抛物线表达式为y=a(x﹣3)2+h.
把B(4,3),C(6,﹣5)代入得:,解得:
,故抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,即:
;
(2)设直线AC的表达式为y=kx+n,则:,解得:k=﹣2,n=7,∴直线AC的表达式为y=﹣2x+7,设点D(m,﹣m2+6m﹣5),2<m<6,则点E(m,﹣2m+7),∴DE=(﹣m2+6m﹣5)﹣(﹣2m+7)=﹣m2+8m﹣12,设直线DE与直线AB交于点G,∵AG⊥EG,∴AG=m﹣2,EG=3﹣(﹣2m+7)=2(m﹣2),m﹣2>0,在Rt△AEG中,∴AE=
(m﹣2),由
,得
=
,化简得,2m2﹣11m+14=0,解得:m1=
,m2=2(舍去),则D(
,
).
(3)根据题意得:△ABF为等腰直角三角形,假设存在满足条件的点P、Q,则△BPQ为等腰直角三角形,分三种情况:
①若∠BPQ=90°,BP=PQ,如图2,过P作MN∥x轴,过Q作QM⊥MN于M,过B作BN⊥MN于N,易证得:△BAP≌△QMP,∴AB=QM=2,PM=AP=3+2=5,∴P(2,﹣2),Q(﹣3,0),在Rt△QMP中,PM=5,QM=2,由勾股定理得:PQ==
,∴S△BPQ=
PQPB=
;
如图3,易证得:△BAP≌△PMQ,∴AB=PM=2,AP=MQ=3﹣2=1,∴P(2,2),Q(3,0),在Rt△QMP中,PM=2,QM=1,由勾股定理得:PQ=,∴S△BPQ=
PQPB=
;
②若∠BQP=90°,BQ=PQ,如图4,易得:△BNQ≌△QMP,∴NQ=PM=3,NG=PM﹣AG=3﹣2=1,∴BN=MQ=4+1=5,∴P(2,﹣5),Q(﹣1,0),∴PQ==
,∴S△BPQ=
PQPB=
=17;
如图5,易得△QNB≌△PMQ,∴NQ=PM=3,∴P(2,﹣1),Q(5,0),∴PQ=,∴S△BPQ=
PQPB=
=5;
③若∠PBQ=90°,BQ=BP,如图6,过Q作QN⊥AB,交AB的延长线于N,易得:△PAB≌△BNQ,∵AB=2,NQ=3,AB≠NQ,∴此时不存在符合条件的P、Q.
综上所述:P(2,﹣2),Q(﹣3,0),S△BPQ=或P(2,2),Q(3,0),S△BPQ=
或P(2,﹣5),Q(﹣1,0),S△BPQ=17或P(2,﹣1),Q(5,0),S△BPQ=5.
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【题目】某校初二开展英语拼写大赛,爱国班和求知班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示:
(1)根据图示填写下表:
班级 | 中位数(分) | 众数(分) | 平均数(分) |
爱国班 | 85 | ||
求知班 | 100 | 85 |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩比较好?
(3)已知爱国班复赛成绩的方差是70,请求出求知班复赛成绩的方差,并说明哪个班成绩比较稳定?